persamaan kuadrat

BAB I

PERSAMAAN KUADRAT DENGAN SATU VARIABEL

1)   Menyelesaikan persamaan kuadrat

Suatu  persamaan dengan satu perubah x yang dapat disajikan dalam bentuk ax²+bx+c=0 dengan a ≠ 0, disebut persamaan kuadrat dalam x

Contoh:

(a)   2x²+3x – 2=0 dengan a=2, b=3, dan c= -2

(b)     2x²-5x = 0 dengan a=2, b=-5, dan c=0

(c)       x²-3x-10 =10 dengan a= 1, b= -3, dan c= -10

(d)      x²– 9=0 dengan a= 1, b= 0 , dan c= -9

Bentuk ax² + bx + c = 0 tersebut dinamakan bentuk umum atau bentuk bakupersamaan kuadrat.

Jika a = 1, maka persamaannya menjadi x²+bx+c = 0, dan sering disajikan dengan x²+px+q=0; misalnya contoh (c).

Bentuk x²+bx+c=0 dan bentuk x²+px+q = 0 dinamakan bentuk biasa.

Jika suku tertentunya adalah nol, maka persamaannya disebut persamaan kuadrat tidak lengkap. Jadi ax²+bx=0 dan x²+px=0 adalah persamaan-persamaan kuadrat tidak lengkap. Persamaan pada contoh (b) merupakan persamaan kuadrat tidak lengkap.

Jika koefisien dari x sama dengan nol, maka disebut persamaan kuadrat murni. Jadi ax²+c=0 dan x²+q = 0 adalah persamaan-persamaan kuadrat murni. Persamaan pada contoh (d) merupakan persamaan kuadrat murni.

Menyelesaikan persamaan ax²+bx+c=0 berarti menentukan semua bilangan yang memenuhi ax²+bx+c=0; maksudnya membuat kalimat itu  menjadi pernyataan yang bernilai benar. Bilangan-bilangan yang memenuhi persamaan tersebut dinamakan penyelesaian atau akar persamaan itu.

Penyelesaiannya dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu:

1.    Dengan Faktorisasi

      i.     a (b+c) = ab + ac, sehingga

ab + ac = a(b+c)

     ii.     (a+b)(a+c) = a² + (b+c)a +bc, sehingga

a² + (b+c)a+ bc = (a+b)(a+c)

   iii.     (a+b) (a-b) = a² – b^2, sehingga

a² – b²  = (a+b) (a-b)

   iv.     (a+b)² = a²+2ab+b², sehingga

a²+2ab+b² = (a+b)²

    v.     (a+b) (c+d) = ac + bc + ad + bd, sehingga

ac + bc + ad + bd = (ac+bc) + (ad+bd) =

c(a + b) + d(a+b) = (a+b) (c+d).

Cara menyelesaikannya berdasarkan sifat bilangan nyata, yaitu jika p dan q = 0, maka p=0 atau q=0, karena itu ruas kanan persamaannya selalu dijadikan nol lebih dulu.

Contoh :

1)      Selesaikanlah persamaan 2x² – 5x = 0 dengan x adalah bilangan nyata

Jawab:

2x² – 5x = 0

x(2x-5)=0

Maka x=0 atau 2x-5=0, sehingga x=0 atau x=2½

Jadi, himpunan penyelesaiannya [0, 2½]

2)      Selesaikanlah (x-1)²=25, dengan x dalam himpunan bilangan nyata.

Jawab:

(x-1)²=25

(x-1)² – 25 = 0

((x-1) + 5 ) ((x-1) – 5 ) = 0, maka

x – 1+5=0 atau           x – 1 – 5=0

x =-4 atau      x=6

Himpunan penyelesaiannya [-4, 6].

3)      Selesaikanlah persamaan 9x²+6x+1=0

            x variabel dalam himpunan bilangan nyata.

Jawab:

9x²+6x+1=0

(3x+1)²=0

3x+1=0          atau 3x+1=0

x= -⅓             atau x=-⅓

Himpunan penyelesaiannya [-⅓]

Catatan: dalam contoh 3, dikatakan bahwa persamaan itu mempunyai dua penyelesaian yang sama, atau mempunyai penyelesaian dua akar kembar.

Latihan Soal:

            Selesaikan soal-soal dibawah ini sesuai dengan cara penyelesaian diatas !

1)      x² +4x = 0

2)      3z²= 4z

3)      3y² – 9y = 0

4)      x² – 4 = 0

5)      4y² – 9 = 0

4)   Dengan Memisahkan Kuadrat

Apabila tidak mudah dilakukan faktorisasi, maka ruas kiri dapat diubah bentuk menjadi bentuk selisih dua kuadrat. Lebih dulu suku-suku yang memuat variabel dipisahkan kemudian melengkapinya menjadi bentuk kuadrat murni.

Untuk melengkapkan kuadrat tersebut, ditambahkan kuadrat dari seperdua koefisien x pada kedua ruas persamaannya, sesudah koefisien dari x² dijadikan satu.

Contoh :

1)      Selesaikan persamaan x²+2x – 4=0, variabel dalam himpunan bilangan nyata.

Jawab:

x²+2x-4=0

x²+2x = 4

x²+2x+1=4+1

(x+1)²=5

(x+1)²– 5=0

((x+1)+) ((x+1)-) =0

x+1+=0 atau            x+1-=0

x= -1-         atau      x= -1+

Himpunan penyelesaiannya [-1-, -1+]

2)      Selesaikanlah 2y²-3y – 6=0, variabel pada himpunan bilangan nyata

Jawab:

2y²- 3y – 6=0

2y²-3y=6

y²-y=3

y²-y+()²=3+()²

(y-)²-=0

(y-)²-²=0

(y-)) + ) ((y-) -)  = 0

y - + 0 atau      y- -  = 0

y= -                        atau      y= +

Latihan Soal

Selesaikan soal-soal dibawah ini sesuai dengan contoh diatas !

1)      x²+20x-51 =0

2)      y²-14y+48 = 0

3)      z²+2z+= 0

5)   Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus ABC

Penyelesaian persamaan kuadrat dalam bentuk umum ax²+bx+c=0 dapat dicari dengan memisahkan kuadrat pula ax²+bx+c=0. Jika kedua ruas dibagi a menghasilkan:

ax²+x+=0.

ax²+x+=0 kedua ruas ditambah ()²,   yaitu kuadrat seperdua koefisien x, terdapatlah

ax²+x+()²=+()^2.

(x +)²= -

(x +)²- = 0

(x+)² - (()² = 0

((x+) + ( (x+) –= 0

x ++= 0    atau      x+-=0

x = -b ±

x = - –                  atau      x= - +

Ditulis  secara ringkas :

Penyelesaian tersebut dikenal sebagai rumus penyelesaian atau rumus akar persamaan kuadrat, dan biasa dinamakan rumus abc

Contoh

1)      Selesaikan persamaan berikut 4x² + 48 = 43x. x merupakan variabel dalam himpunan bilangan nyata.

a)      Jawab :

4x² + 48 = 43

4x² – 43x + 48 = 0

b)      Rumus :

x = -b ±

c)      Jadi

x =

x=  = =

x = = 6  atau x=  = 4

Himpunan penyelesaiannya (6  4)

2)       Selesaikanlah x² + x + 3=0, dengan x pada himpunan bilangan nyata.

                        Jawab :

x =

Karena bukan anggota himpunan bilangan nyata, maka himpunan penyelesaiannya adalah

6)   Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus pq

Untuk persamaan kuadrat yang disajikan dalam bentuk biasa x² + p + q = 0 sering dipergunakan rumus akar

x= - ±

            Terutama jika p menyatakan bilangan bulat. Rumus akar tersebut dikenal sebagai rumus pq

Contoh :

1)      Selesaikan x² – 24x + 124 = 0, x variabel dalam himpunan bilangan nyata.

Jawab :

x² – 24x+124=0

p = -24

q= 124

Rumus :

x = - p +

Jadi, x = -(-12)

= 12

= 12  2

                      x = 12 +  2atau x = 12 – 2

BAB II

PERSAMAAN DALAM BENTUK PECAHAN

Ada kalanya persamaan-persamaan disajikan dalam bentuk pecah.

Misalnya :

1.       +  = 8

2.      3x =

Persamaan-persamaan semacam itu dapat diselesaikan dengan lebih dulu mengalihkan kedua ruasnya dengan KPK (kelipatan persekutuan terkecil) dari penyebut-penyebutnya, jika penyebut-penyebut itu tidak memuat variabel.

Contoh :

1)      Selesaikanlah +  = 8

Jawab :

 +  = 8

KPK penyebut-penyebutnya ialah 20

4(x² – 24) + 5 (x² – 37) = 8 × 20

4x² – 96+ 5x² – 185 = 160

9x² – 121 = 0

(3x + 11) (3x -11)=0

3x + 11 = 0    atau      3x – 11 = 0

x = 3  atau                  x= 3

Himpunan penyelesaiannya { -3  , 3 }

    Jika penyebutnya memuat variabel, maka disesuaikan dengan lebih dulu mengubahnya menjadi bentuk pecah dengan satu penyebut. Jika dikalikan dengan KPK penyebut penyebutnya, belum tentu diperoleh persamaan yang ekuivalen dengan persamaan semula.

Contoh :

1)      Selesaikan  + 7 =

Jawab :

a)       + 7 =

x² + 7 (x - 3) = 9 .......... (I)

x² + 7x -21 -9= 0

x² + 7x – 30= 0 .......... (II)

(x + 10) (x-3) = 0

x + 10 = 0 atau x – 3 = 0

Jadi x = -10 atau xx = 3   

Karena kedua ruas persamaan tersebut dikalikan dengan (x – 3), suatu bentuk yang memuat perubahan, maka perlu diperiksa apakah persamaan (I) ekuivalen dengan persamaan (II).

Pemeriksaan :

Untuk x=  -10, ruas kiri dari persamaan (1) menjadi  + 7 = , ruas kanan menjadi =-

Jadi x=10 merupakan akar dari persamaan (1).

Untuk x=3, maka ruas kiri dari persamaan (1) menjadi +7. Ini tidak mempunyai arti sebab pembagian dengan nol tidak mungkin. Jadi x=3 bukan akar persamaan (1).

Maka himpunan penyelesaian persamaan (1) adalah [-10]. Dengan demikian persamaan (1) tidak ekuvalen dengan persamaan (II).

Jawab:

b)      + 7 =

diubah menjadi

= 0

=0

Jika disederhanakan maka di peroleh:

x + 10=0

Jadi, x= - 10

Himpunan penyelesaiannya adalah [-10]

Latihan Soal:

1)       + x = 1

2)       - =